Спрямляемая кривая. Длина кривой

Пусть $x(t)$ и $y(t)$ - непрерывны. Тогда **непрерывной кривой** называется $$\gamma\mathpunct{:}~ [a, b] \to \mathbb{R}^{2}, ~~ \begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \end{cases}$$ Если $x(t)$ и $y(t)$ - непрерывно дифференцируемы, то $\gamma$ - **гладкая кривая** Если $\gamma(a) = \gamma(b)$, то $\gamma$ - **замкнутая кривая** Если $a \neq b \Rightarrow \gamma(a) \neq \gamma(b)$, то ${} \gamma$ - **простая дуга**

Пусть: - $\tau = \{a = t_{0} < t_{1} < \dots < t_{n} = b\}$ - $L = (A_{0}, A_{1}, \dots, A_{n})$ - ломаная, где $A_{k} = \gamma(t_{k})$ - $S(L) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} |A_{k}A_{k+1}|$ - длина ломаной Тогда если $\exists{\sup S(L) =: S(\gamma)}$, то он называется **длиной кривой**, а кривая называется **спрямляемой**